Приложение

 

Программа курса математики ИМТУ 1892 года.

 

Курс 1 общего класса при 5 лекциях в неделю

 

А) Аналитическая геометрия на плоскости

 

Определение положения точки на оси. Правило знаков. Найти абсциссу точки, разделяющей расстояние между двумя данными точками в данном отношении. Проекция на ось. Величина и знак проекции прямой на данную ось. Проекция замыкающей стороны незамкнутого многоугольника. Сумма проекций сторон замкнутого многоугольника.

 

Проекция на плоскость. Теорема о площади проекции. Декартовы и полярные координаты на плоскости. Соотношение между прямоугольными и полярными координатами. Определение расстояния между двумя точками. Определение координат точки, разделяющей расстояние между двумя точками в данном отношении.

 

Декартовы и полярные координаты в пространстве. Соотношение между прямоугольными и полярными координатами. Определение расстояния между двумя точками. Определение координат точки, делящей расстояние между двумя точками в данном отношении.

 

Определение направления прямой. Найти косинусы углов, которые прямая, соединяющая две данные точки, образует с осями координат. Определить косинусы углов по их отношению. Определить косинусы углов радиуса вектора с осями по долготе и полярному углу. Определить косинусы угла между двумя прямыми. Соотношение между площадью данной фигуры и ее проекцией на плоскости координат.

 

Неравенства между сторонами и углами сферического треугольника. Вывод основной формулы сферического треугольника. Формула четырех синусов.

 

Формула косинуса угла сферического треугольника. Формула с котангенсами. Формулы прямоугольного сферического треугольника. Решение прямоугольных сферических треугольников.

 

Понятие о геометрическом месте и уравнении кривой. Уравнение в полярных координатах. Примеры.

 

Составление и исследование уравнения прямой. Уравнение круга и его вид в частных случаях.

 

Парабола как геометрическое место и ее построение. Составление уравнения параболы и исследование ее вида. Построение параболы, выводимое из ее уравнения.

 

Эллипс как геометрическое место и его построение непрерывным движением и по точкам. Составление уравнения эллипса и исследование его вида. Эксцентриситет и параметры эллипса. Построение эллипса, основанное на его уравнении. Эллипсограф.

 

Гипербола как геометрическое место и ее построение непрерывным движением и по точкам. Составление уравнения гиперболы и исследование ее вида. Асимптоты гиперболы, ее эксцентриситет и параметры. Построение гиперболы, выводимое из ее уравнения.

 

Конхоида и ее приложение к делению угла на три равные части. Циссоида и удвоение куба. Овал Кассини, лемниската.

 

Синусоида, кривая тангенсов, циклоида. Спирали: архимедова, логарифмическая и гиперболическая.

 

Формулы преобразования координат. Доказательство неизменности степени уравнения кривой с переменой координат.

 

Всякое уравнение прямой первой степени между двумя координатами представляет прямую. Различные формы уравнения прямой: по отрезку на оси координат и углу с осью абсцисс, по двум отрезкам, по данной точке и углу с осью абсцисс, по двум данным точкам, нормальная форма, полярное уравнение прямой.

 

Условие параллельности двух прямых. Составление уравнения кривой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой. Координаты точки пересечения двух прямых.

 

Уравнение прямой, проходящей через точку пересечения двух данных прямых. Тангенс угла между двумя прямыми. Условие перпендикулярности двух прямых. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой. Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую. Площадь треугольника по координатам его вершин.

 

Условие пересечения трех прямых в одной точке. Доказать, что перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника на противоположные стороны, пересекаются в одной точке.

 

Условия, при котором три точки лежат на одной прямой. Доказать, что точки пересечения диагонали полного четырехугольника лежат на одной прямой.

 

Признак, при котором общее уравнение 2-ой степени представляет круг. Построение круга по данному уравнению. Полярное уравнение круга.

 

Уравнение касательной и нормали круга. Провести касательную параллельно данной прямой. Провести касательную к кругу из внешней точки. Радиальная ось двух кругов. Теорема о радиальных осях трех кругов.

 

Кривые второго порядка пересекают прямую в двух точках и не имеют точек перегиба. Построение прямой второго порядка с помощью решения ее уравнения в случае В²-4АС<0.

 

Построение прямой второго порядка с помощью решения ее уравнения в случае В²-4АС>0. Построение асимптот гиперболы.

 

Построение прямой второго порядка с помощью решения ее уравнения в случае В²-4АС=0.

 

Построение гиперболы в случае С=0. Построение параболы при В=0 и С=0.

 

Изыскание координат центра кривых 2-го порядка. Случаи, когда координаты центра бесконечны и не определены. Преобразование уравнения центральных кривых через перенесения начала координат в центр.

 

Изыскание направления главных осей центральных кривых второго порядка. Приведение уравнения центральной кривой к виду x²/a² ± y²/b²=1 .

 

Преобразование уравнения кривых, не имеющих центра: выбор направления оси абсцисс параллельно оси параболы, перенесение начала координат в вершину параболы.

 

Вывод уравнения эллипса из его свойств по отношению к фокусу и направляющей. Расстояние направляющей от центра, величина параметра. Выражение радиуса вектора в линейной функции абсциссы.

 

Вывод уравнения гиперболы из ее свойств по отношению к фокусу и направляющей. Расстояние направляющей от центра, величина параметра. Выражение радиуса вектора в линейной функции абсциссы. Вывод подобного выражения для параболы.

 

Полярное уравнение кривых второго порядка. Исследование формы.

 

Общее уравнение кривых второго порядка, отнесенных к вершине и фокальной оси. Парабола как предел эллипса и гиперболы.

 

О конических сечениях. Сечения цилиндра.

 

Общий вид уравнения касательных 2-го порядка. Уравнение поляры. Теоремы о полярах и полюсах.

 

Касательная к эллипсу. Углы, образуемые касательной с радиусами векторами. Произведение перпендикуляров, опущенных из фокусов на касательную. Геометрический способ проведения касательной через внешнюю точку. Место оснований перпендикуляров, опущенных из фокусов на касательную.

 

Касательная к гиперболе. Углы, образуемые касательной с радиусами векторами. Произведение перпендикуляров, опущенных из фокусов на касательную. Геометрический способ проведения касательных через внешнюю точку. Место оснований перпендикуляров, опущенных из фокусов на касательную.

 

Уравнение гиперболы, отнесенной к асимптотам. Площадь параллелограмма, построенного на координатах точки гиперболы. Доказать, что точка прикосновения разделяет отрезок касательной гиперболы между асимптотами пополам.

 

Касательная к параболе. Субтангенс и субнормаль. Угол касательной с радиусом вектором. Геометрический способ построения касательных из внешней точки.

 

Общий вид уравнения диаметров кривых второго порядка. В центральных кривых диаметры проходят через центр, а в параболе параллельны между собой. Сопряженные диаметры. Касательная в конце диаметра параллельна сопряженному диаметру. Вид уравнения параболы, отнесенной к диаметру и касательной, проходящей через его конец.

 

Сопряженные диаметры эллипса. Произведение тангенсов углов, образуемых сопряженными диаметрами с фокальной осью. Тангенс угла между двумя сопряженными диаметрами. Дополнительные хорды. Задача на дополнительные хорды.

 

Отнесение уравнения эллипса к сопряженным диаметрам. Длины сопряженных полудиаметров. Теоремы Апполония для эллипса.

 

Сопряженные диаметры гиперболы. Произведение тангенсов углов, образуемых сопряженными диаметрами с фокальной осью. Тангенс угла между сопряженными диаметрами. Доказать, что отрезки секущей между гиперболой и асимптотами равны между собой.

 

Отнесение уравнения гиперболы к сопряженным диаметрам. Величины действительного и мнимого полудиаметра. Показать, что параллелограмм, построенный на сопряженных диаметрах, имеет диагоналями асимптоты. Теоремы Апполония для гиперболы.

 

Уравнения диаметров параболы. Отнесение уравнения параболы к диаметру и касательной, проходящей через его конец. Геометрическое значение нового параметра в найденном уравнении.

 

 

Б) Начала высшей алгебры

 

Мнимые количества. Геометрическое и тригонометрическое представление их.

 

Сложение и вычитание.

 

Умножение и деление мнимых количеств. Возведение в степень и извлечение корня.

 

Решение двучленного уравнения вида: Xⁿ-1=0.

 

Решение двучленного уравнения вида: Xⁿ+1=0.

 

Решение уравнений третьей степени. Формула Кардано. Число корней. Случай равных корней.

 

Преобразование корней уравнения 3-ей степени в тригонометрическую форму в случае одного действительного корня.

 

Преобразование корней уравнения третьей степени в тригонометрическую форму в случае трех действительных корней.

 

Решение уравнений 4-ой степени по способу Декарта.

 

 

В) Дифференциальное исчисление

 

Процессы изменений. Величины постоянных и переменных.

 

Понятие о пределе. Основание способа пределов.

 

Понятие о бесконечном малом количестве. Отношение бесконечно малых.

 

Понятие о бесконечно большом количестве. Отношение бесконечно больших.

 

Понятие о функции. Функции явные и неявные. Классификация явных функций.

 

Понятие о непрерывном изменений независимого переменного и функция.

 

Геометрическое представление функции.

 

Основное свойство непрерывной однозначной функции.

 

Ряды сходящиеся и расходящиеся. Простейший признак сходимости ряда.

 

Наиболее общий признак сходимости ряда.

 

Теорема о перемножении рядов. Применение ее к биноминальному ряду.

 

Общие свойства биноминального ряда. Распространение формулы Ньютона.

 

Производная и ее геометрическое значение. Проведение касательной к данной кривой.

 

Производная степени с целым положительным показателем. Производная синуса.

 

Производная логарифма. О пределе: (1+1/m)^m. Несоизмеримость числа е. Неперовы логарифмы.

 

Производная алгебраической суммы. Производная постоянного. Производная произведения и частного.

 

Производная функции от функции.

 

Дифференцирование произвольной степени, логарифма и показательной функции.

 

Дифференцирование прямых круговых функций.

 

Дифференцирование обратных круговых функций.

 

Дифференцирование показательной функции с переменным основанием.

 

Дифференцирование выражений, содержащих функциональные знаки.

 

Производные высших порядков простейших функций.

 

Дифференцирование неявных функций. Дифференцирование системы уравнений, определяющих несколько неявных функций.

 

Признак непрерывности функции. Признак возрастания и убывания функции.

 

Теорема Ролля. Выражение приращения функции через среднее значение ее производной.

 

Следствие формулы, выражающей приращение функции через среднее значение ее производной.

 

Последовательный вывод формулы Тейлора с остатком Лагранжа.

 

Общий вывод формулы Тейлора с остатками Шлемильха, Лагранжа и Коши.

 

Ряд Маклорена. Разложение показательных и логарифмических функций. Преобразование логарифмических рядов.

 

Разложение синуса и косинуса. Мнимая показательная функция. Связь с тригонометрическими функциями. Периодичность мнимых показательных функций.

 

 

Курс 2 общего класса при 3 лекциях в неделю

 

А) Аналитическая геометрия в пространстве

 

Представление поверхности уравнением; примеры сферы и параболоида вращения.

 

Геометрическое значение уравнения с одного, двумя и тремя переменными; примеры.

 

Представление линии двумя уравнениями; примеры.

 

Геометрическое значение двух уравнений; примеры.

 

Уравнение плоскости.

 

Уравнение прямой.

 

Углы перпендикуляра к плоскости с осями координат.

 

Углы прямой с осями координат.

 

Уравнение прямой, проходящей через одну и две точки.

 

Уравнение прямой, проходящей через одну точку и имеющей данные углы с осями; уравнение прямой, проходящей через точку и параллельной данной прямой.

 

Пересечение прямых, плоскостей и прямой с плоскостью.

 

Уравнение плоскости, проходящей через одну точку и через три точки.

 

Уравнение параллельности плоскостей; уравнение плоскости, проходящей через точку, параллельно данной плоскости.

 

Уравнение плоскости, проходящей через линию и точку.

 

Условие перпендикулярности прямой и плоскости; уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно данной плоскости.

 

Длина перпендикуляра из точки на линию.

 

Длина перпендикуляра из точки на плоскость.

 

Угол двух прямых.

 

Угол двух плоскостей.

 

Угол прямой с плоскостью.

 

Общее преобразование координат.

 

Преобразование Декартовых координат в Декартовы координаты.

 

Формулы Лагранжа.

 

Формулы Эйлера.

 

Классификация поверхностей.

 

Сферическая поверхность.

 

Общее уравнение цилиндров; примеры цилиндра косого с эллиптической направляющей и с направляющей кривой второго порядка.

 

Общее уравнение конусов; примеры кругового и эллиптического конусов.

 

Общее уравнение коноидов; примеры прямого коноида и коноидального клина.

 

Общее уравнение поверхности вращения около одной из осей координат; поверхность, получаемая от вращения прямой около оси.

 

Поверхности, получаемые от вращения кривых второго порядка.

 

Общее уравнение поверхности вращения около произвольной оси.

 

Теоремы о центре поверхности второго порядка.

 

Разыскание центра поверхности второго порядка.

 

Диаметральные плоскости поверхности второго порядка.

 

Разыскание главных диаметральных плоскостей поверхностей второго порядка.

 

Упрощение уравнения центральных поверхностей.

 

Упрощение уравнения поверхностей, не имеющих центра.

 

Трех-осный эллипсоид.

 

Однополостный гиперболоид.

 

Двуполостный гиперболоид.

 

Частные виды центральных поверхностей.

 

Эллиптический параболоид.

 

Гиперболический параболоид.

 

Построение образующих однополостного гиперболоида.

 

Построение образующих гиперболического параболоида.

 

Теоремы о свойствах образующих однополостного гиперболоида.

 

Теоремы о свойствах образующих гиперболического параболоида.

 

Образование однополостного гиперболоида движением прямой.

 

Образование гиперболического параболоида движением прямой.

 

 

Б) Высший анализ

 

Количества бесконечно малые. Разделение их на порядки. Отношение двух бесконечно малых. Произведение и сумма бесконечно малых.

 

Способ бесконечно малых. Два принципа способа бесконечно малых.

 

Понятие о дифференциале функции и его геометрическое значение. Правила дифференцирования явных функций одного независимого переменного. Производные высших порядков.

 

Различные случаи дифференцирования неявных функций одного независимого переменного. Производные высших порядков от неявных функций.

 

Дифференциал площади в прямоугольных и полярных координатах.

 

Предел отношения бесконечно малой дуги к хорде.

 

Дифференциал дуги плоской кривой в прямоугольных и полярных координатах.

 

О неопределенных видах 0/0 и "бесконечность"/"бесконечность" . Определение их истинных значений. Примеры.

 

Неопределенные виды "бескнечность"⁰, 1^{"бесконечность"}, 0⁰, "бесконечность"-"бесконечность". Замечание о неопределенных видах в неявных функциях. Примеры.

 

Наибольшие и наименьшие значения функции. Определение их и различение. Примеры.

 

Наибольшие и наименьшие значения неявных функций. Примеры.

 

Признаки наибольших и наименьших значений, выводимые из рассмотрения первой производной. Примеры.

 

О неопределенном интеграле. Доказательства его существования и его общее выражение. Основные формулы для интегрирования. Замечания для некоторых из них.

 

Интегрирование непосредственное. Приведение данных интегралов к основным формулам. Интеграл суммы. Интегрирование через разложение. Примеры.

 

Интегрирование по частям. Интегрирование через введение нового переменного. Примеры.

 

Интеграл как предел суммы. Пример непосредственного вычисления такого предела. Интеграл однопредельный. Интеграл определенный.

 

Касательные и нормали к плоским кривым. Касательная к трохоиде. Касательная к цепной линии.

 

Касательная к эпициклоидам и гипоциклоидам.

 

О выпуклости и вогнутости плоских кривых. Применение к эллипсу.

 

Разыскание точек перегиба. Примеры.

 

О кривизне плоских кривых. Радиус круга кривизны и центр его.

 

Выражение радиуса кривизны в Декартовых координатах. Применение к коническому сечению и к цепной линии.

 

О развертках. Общие свойства их. Радиус кривизны и развертка циклоида.

 

Составление уравнения развертки. Радиус кривизны и развертка параболы.

 

Радиус кривизны и развертка эллипса.

 

Касательные к кривым в полярных координатах. Спираль Архимеда.

 

Спирали гиперболическая и логарифмическая.

 

Радиус кривизны в полярных координатах. Кардиоида и развертывающая круга. Проведение к ним касательных.

 

Квадратура в Декартовых координатах. Определение замкнутой площади. Квадратура параболы и круга.

 

Квадратура в полярных координатах. Квадратура лемнискаты и Декартова листа.

 

Формула Симпсона. Геометрическое значение ее.

 

Ректификация в Декартовых координатах. Длина циклоиды.

 

Ректификация параболы.

 

Ректификация эллипса.

 

Ректификация в полярных координатах. Длина кардиоиды.

 

Дифференциал объема. Объемы, определяемые одним интегрированием. Объем отрезков эллипсоида и параболоида.

 

Объемы тел вращения. Объем от вращения циклоиды. Объем тора.

 

Дифференциал поверхности вращения. Поверхность шарового пояса. Поверхность удлиненного эллипсоида вращения.

 

Поверхность сжатого эллипсоида вращения.

 

 

Курс 3 общего класса механического отделения при 2 лекциях в неделю

 

А) Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

 

Дифференцирование сложной функции нескольких аргументов, зависящих от одного независимого переменного.

 

Независимость результата дифференцирования по нескольким аргументам от порядка дифференцирования.

 

Производные высших порядков сложных функций.

 

Производные неявных функций одного независимого переменного.

 

Дифференцирование функции нескольких независимых переменных. Теорема о дифференциале постоянного выражения.

 

Дифференцирование сложных функций нескольких переменных.

 

Дифференцирование неявных функций нескольких переменных.

 

Отдельное вычисление частных производных неявных функций.

 

Теорема Тейлора для функции многих переменных.

 

Наибольшие и наименьшие значения функций многих переменных.

 

Касательная линия и нормальная плоскость к кривым двоякой кривизны.

 

Касательная плоскость и нормальная линия к поверхностям.

 

Соприкасающаяся плоскость.

 

Главная нормаль.

 

Радиус первой кривизны и его различные выражения.

 

Тождество соприкасающегося круга с кругом кривизны.

 

Радиус второй кривизны.

 

Применение всех формул к винтовой линии.

 

 

Б) Высшая алгебра

 

Основные теоремы об изменении целой функции.

 

Теорема Коши о существовании корня.

 

Разложение функции на линейных множителей в случае однократных корней. Соотношение коэффициентов и корней.

 

Теорема о сопряженности мнимых корней.

 

Разложение функции на множителей второй степени в случае мнимых корней.

 

Теоретическое основание процесса выделения кратных корней.

 

Практическое выполнение процесса кратных корней.

 

Простейшие теоремы о числе действительных корней между данными пределами.

 

Теорема Декарта о числе положительных корней.

 

Теоремы о соизмеримых корнях. Выделение соизмеримых корней.

 

Теорема Штурма.

 

Отделение несоизмеримых корней по теореме Штурма. Первое вычисление корней по способу Лагранжа.

 

Вычисление корней по способу Ньютона и Фурье и по способу пропорциональных частей.

 

 

В) Интегральное исчисление

 

О неопределенном интеграле. Доказательство его существования и его общее выражение. Основные формы интегрирования. Замечания о некоторых из них.

 

Интегрирование непосредственное. Приведение данных интегралов к основным формулам. Интеграл суммы. Интегрирование через разложение. Примеры.

 

Интегрирование по частям. Интегрирование через введение нового переменного. Примеры.

 

Об интеграле определенном. Доказательство его существования. Площадь кривой линии. Способ для нахождения величины определенного интеграла. Интеграл исчезающий. Введение нового переменного в определенном интеграле.

 

Теоремы об определенном интеграле. Сравнение величин двух определенных интегралов. Замечание об интеграле с бесконечными пределами и об интеграле, в котором подынтегральная функция обращается в бесконечность при одном из пределов или между пределами интегрирования.

 

Вывод теоремы Тейлора с выражением остатка через определенный интеграл. Формула Лагранжа.

 

Интегрирование рациональных дробей. Случаи простых и действительных корней знаменателя. Примеры.

 

Интегрирование рациональных дробей в случае простых мнимых корней знаменателя. Примеры.

 

Разложение рациональных дробей в случае кратных действительных дробей знаменателя. Примеры интегрирования дроби для этого случая.

 

Разложение и интегрирование рациональной дроби в случае мнимых кратных корней знаменателя. Примеры интегрирования.

 

Интегралы, содержащие иррациональные одночлены, и другие интегралы, приводимые к этому виду. Примеры.

 

Интегралы, содержащие квадратный корень из функций 2-ой степени. Три преобразования. Интегралы, содержащие два корня из функции 1-ой степени.

 

Условия интегрируемости дифференциальных биномов. Примеры интегрирования. Замечания об эллиптических интегралах и функциях. Лежандровы интегралы.

 

Интегрирование логарифмических и показательных функций. Примеры.

 

Интегрирование круговых функций. Общий прием для вычисления интегралов с тригонометрическими функциями. Примеры.

 

Интегралы простых видов от тригонометрической функции. Интегралы от целых степеней синуса и косинуса.

 

Интегралы от степеней тангенса и котангенса и от произведения степеней синуса и косинуса. Вычисление интегралов от иррациональных функций через приведение их к тригонометрическим.

 

Определенный интеграл от степени синуса. Валлисово выражение π.

 

Об интегрировании помощью рядов. Разложение в ряд эллиптического интеграла 1-го рода.

 

О разложении функций в ряды помощью интегрирования. Вычисление арксинуса и арктангенса. Вычисление π.

 

Дифференцирование и интегрирование определенных интегралов по параметрам.

 

Выражение некоторых определенных интегралов, получаемых через дифференцирование и интегрирование известных выражений других определенных интегралов. Функция Гамма.

 

О двойных определенных интегралах. Двойной интеграл как предел суммы бесконечно малых. Геометрическое представление значений, получаемых переменными в двойном интеграле. Интегрирование по данной площади.

 

О тройных интегралах. Общая формула кубатур в двойных и тройных интегралах. Общая формула компланаций. Задачи на вычисление части поверхности сферы.

 

Понятие о дифференциальном уравнении. Существование общего интеграла для дифференциального уравнения 1-го порядка. Происхождение дифференциального уравнения из общего интеграла.

 

Отделение переменных. Однородные дифференциальные уравнения и приводимые к однородным. Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.

 

Полные дифференциальные уравнения. Примеры.

 

Об интегральном факторе, существование факторов.

 

Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка, но высших степеней. Интегрируемые формы.

 

Уравнение Клеро, его общее решение; геометрическое значение особого решения. Геометрическая задача, приводимая к уравнению Клеро.

 

Существование общего интеграла дифференциального уравнения n-го порядка. Происхождение такого уравнения.

 

Общий интеграл дифференциального линейного уравнения n-го порядка без известного члена. Уравнение с постоянными коэффициентами. Его интегрирование в разных случаях.

 

Интегрирование линейного уравнения с известным членом по способу изменения произвольных постоянных. Случай уравнения с постоянными коэффициентами. Интегрирование его, когда известно одно частное его решение.